向量和标量相乘

[latex]s\mathtt a = (sa_x,sa_y,sa_z)[/latex]

不改变向量的方向,只改变长度。

向量的加减

[latex]\mathtt a+\mathtt b = [(a_x+b_x),(a_y+b_y),(a_z+b_z)][/latex]

将两个偏移量叠加,类似力的合力。

[latex]\mathtt a-\mathtt b = [(a_x-b_x),(a_y-b_y),(a_z-b_z)][/latex]

相当于加另一个向量的相反数。

  • 方向 + 方向 = 方向
  • 方向 – 方向 = 方向
  • 点 + 方向= 点
  • 点 – 点 = 方向
  • 点 + 点 = 无意义

向量的摸

[latex]|\mathtt a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}[/latex]

取得向量的摸,即长度。

标准化向量

[latex]\mathtt u=\frac{\mathtt v}{|\mathtt v|}=\frac{1}{v}\mathtt v[/latex]

获得单位向量,即摸为1的向量。

法向量

法线向量。

向量乘积

点乘

[latex]\mathtt a·\mathtt b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=d[/latex]

[latex]\mathtt a·\mathtt b=|\mathtt a||\mathtt b|\cos \theta[/latex]

向量点乘的结果为标量。

任意向量和单位向量的点乘为投影长度。

[latex]|\mathtt a|^2=\mathtt a·\mathtt a[/latex]

[latex]|\mathtt a|=\sqrt{\mathtt a·\mathtt a}[/latex]

上面的公式可用于计算和比较摸。

  • 共线:(a · b) = ab
  • 共线且相反:(a · b) = -ab
  • 垂直:(a · b) = 0
  • 方向相同:(a · b) > 0
  • 方向相反:(a · b) < 0

叉乘

[latex]\mathtt a×\mathtt b=[(a_yb_z-a_zb_y),(a_zb_x-a_xb_z),(a_xb_y-a_yb_x)]\\=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k[/latex]

[latex]|\mathtt a×\mathtt b|=|\mathtt a||\mathtt b|\sin \theta[/latex]

如果a和b是平行四边形的两条边,其面积就是叉乘的摸。

叉乘的结果是垂直于两个向量的向量。

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